Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=3，E、F分别在侧棱BB₁、DD₁上，且BE=1，D₁F=1．
（1）求证：A、E、C₁、F四点共面；
（2）求平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：法一：（1）由AB

∥

.

C₁D₁，BE

∥

.

D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，∠ABE=∠C₁D₁F=

π

2

，知△ABE≌△C₁D₁F，由此能够证明A、E、C₁、F四点共面．
（2）延长C₁E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得EB⊥平面ABCD，故EH⊥AG，所以∠EHB是所求的二面角的平面角，由此能求出平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．
（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立空间直角坐标系，则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），由此能证明A、E、C₁、F四点共面．
（2）设面EC₁FA的一个法向量为

m

=（x，y，z），

C1E

=(0，1，-2)，由

m • C1F =x-z=0 m • C1E =y-2x=0

，得

m

=(1，2，1)，又面ABCD的一个法向量为

n

=(0，0，1)，由向量法能够求出平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

解答：（法一）（1）证：∵AB

∥

.

C₁D₁，BE

∥

.

D₁F，且平面ABE∥平面C₁D₁F，
∠ABE=∠C₁D₁F=

π

2

，
∴△ABE≌△C₁D₁F，…（3分）
∴AE

∥

.

C1F，∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）延长C₁E，CB交于G，连接AG，过B作BH⊥AG于H，连接EH，
由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得EB⊥平面ABCD，∴EH⊥AG，
∴∠EHB是所求的二面角的平面角，…（9分）
由△GBE∽△GCC₁得

GB

GC

=

BE

CC1

=

1

3

，∴GB=

1

2

，在Rt△ABG中，
AG=

5

2

，BH=

AB•BG

AG

=

5

5

，
∴tan∠EHB=

BE

BH

=

5

，…（11分）
所以平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arctan

5

．…（12分）
（法二）（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴建立如图所示的空
间直角坐标系，则C₁（0，0，3），F（1，0，2），A（1，，1，0），E（0，1，1），…（2分）
∴

C1F

=(1，0，-1)，

EA

=(1，0，-1)，
∴C₁F∥EA，∴A、E、C₁、F四点共面．…（6分）
（2）设面EC₁FA的一个法向量为

m

=（x，y，z），∵

C1E

=(0，1，-2)，
由

m • C1F =x-z=0 m • C1E =y-2x=0

，得

m

=(1，2，1)，
又面ABCD的一个法向量为

n

=(0，0，1)，…（9分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

6 •1

=

6

6

，…（11分）
所以平面AEC₁F与底面ABCD所成的锐二面角的大小为arccos

6

6

．（12分）

点评：本题考查四点共面的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意合理地化空间几何为平面几何进行求解，解题时要注意向量法的合理运用．