Question

已知函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a为实数）
（I）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
（II）若f（x）在x=-1时有极值，证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（I）先求函数f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a的导函数，函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，即导函数为零时有实数解，再令方程的判别式大于或等于零即可得a的范围；
（II）先由f′（-1）=0求出a值，令导函数大于零，解不等式可得函数的增区间，令导函数小于零，解不等式可得函数的减区间，然后求函数f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，当这两个值差的绝对值小于

5

16

，即可证得结论．

解答：解：∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

（I）∵函数f（x）的图象有与x轴平行的切线，
∴f′（x）=0有实数解则△=4a2-4×3×

3

2

≥0，a2≥

9

2

，
所以a的取值范围是(-∞，-

3

2

2

]∪[

3

2

2

，+∞)
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-

1

2

；
由f′(x)＜0得-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；
单调减区间为(-1，-

1

2

)
∴f（x）的最大值为f(-1)=

25

8

，
f（x）的极小值为f(-

1

2

)=

49

16

，又f(0)=

27

8

∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，
最小值m=

49

16

∴对任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．