Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为 ．

Answer 1

【答案】8π
【解析】解：如图示：
∵侧棱AA1⊥底面ABC，
∴∠A1DA就是A1D与底面ABC所成的角，
在直角三角形A1DA中，
tan∠A1DA= =2，
∵底面是边长为2的正三角形，且AD=1，
∴A1A=2，
设三棱锥A1﹣ACD外接球的半径为r，
∵S△A1DA= ×1×2=1，
CD= = ，
∴三棱锥A1﹣ACD= ×1× = ，
V三棱锥O﹣A1CD+V三棱锥O﹣A1AD+V三棱锥O﹣A1AC+V三棱锥O﹣ACD
= × × × r+ × ×2×1r+ × ×2×2r+ × ×1× r= ，
∴r= ，
∴三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为4πr2=8π．
所以答案是：8π．