Question

已知定义在R上的函数f(x)＝x²(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) a＝2   (Ⅱ)  a≥－2.

解析:

(Ⅰ)f(x)＝ax³－3x，f??(x)＝3ax²－6x＝3x(ax－2),

∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f??(1)＝0，∴a＝2；

(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x²在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；

②当a≠0时，f??(x)＝3ax(x－)，由f??(x)＝0，得x＝0，x＝

当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f??(x)＞0，∴a＞0符合题意；

当a＜0时，当x∈(，0)时，由f??(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；

综上所述，a≥－2.