Question

已知f（x）=ln (

x2+1

+x)，g（x）=

ex+e-x

2

（1）判断f（x）的奇偶性，并求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）g（x）=1，求x的值．

Answer 1

分析：求出f（x）+f（-x）=0即为f（-x）=-f（x），利用奇函数的定义得出f（x）为奇函数，由y=ln (

x2+1

+x)得ey=

x2+1

+x，e-y=

x2+1

-x，两式相减求出x，得到函数的反函数．
（2）将f^-1（x）及代入方程，求出e2x=2+

5

，利用对数式与指数式的转化求出x的值．

解答：解：（1）f（x）的定义域为R，
f（x）+f（-x）=ln (

x2+1

+x)+ln (

x2+1

-x)=ln1=0，
所以f（x）为奇函数，
由y=ln (

x2+1

+x)得ey=

x2+1

+x，①
由y=ln (

x2+1

+x)得-y=-ln (

x2+1

+x)
即-y=ln (

x2+1

-x)
所以e-y=

x2+1

-x，②
由①②得2x=e^y-e^-y，
所以f^-1（x）=

ex-e-x

2

（x∈R）
（2）f^-1（x）g（x）=1等价于方程e^2x-e^-2x=4
解得e2x=2-

5

（舍）或e2x=2+

5

x=

1

2

ln(2+

5

)

点评：本题考查利用定义判断函数奇偶性、求函数的反函数的方法，属于基础题．