Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁。

（Ⅰ）写出曲线C₁的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C₁关于点A（t/2,s/2）对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=t3/4-t且t≠0。

Answer 1

 解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=k/ab，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a,b值使y值最小。 根据题设，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/30a-a2/2+=k/-a+32-64/a+2=k/34-(a+2+64/a+2)

≥k/34-2=k/18，

当a+2=64/a+2时取等号，y达最小值。 这时a=6,a=-10（舍去）。 将a=6代入①式

得b=3。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：依题意，即所求的a,b的值使ab最大。

由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)，

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2，

∴2 +ab≤30， 当且仅当a=2b时，上式取等号。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

∴2b²=18。解得b=3，a=6。 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。