Question

已知定义域R上的二次函数f（x）的最小值为0，且f（1+x）=f（1-x），直线y=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为4

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，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：由题意可设f（x）=a（x-1）²（a＞0），联立直线与抛物线方程并消掉y可得x的二次方程，利用韦达定理、弦长公式可得关于a的方程，解出a即可得到f（x）．

解答：解：由f（1+x）=f（1-x），得f（x）的图象的对称轴为x=1，再由f（x）的最小值为0，设f（x）=a（x-1）²（a＞0），
由

y=4(x-1) y=a(x-1)2

得，ax²-（2a+4）x+a+4=0，
设所截弦的端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

2a+4

a

，x1x2=

a+4

a

，
∴弦长4

17

=

1+42

|x1-x2|=

17

( 2a+4 a )2-4• a+4 a

，解得a=1，
∴f（x）=（x-1）²．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理、弦长公式是解决该类题目常用知识，要熟练掌握，解决本题的关键是根据条件设出函数的顶点式解析式．