Question

已知函数f(x)=lg

2x

ax+b

，且f（1）=0，当x＞0时，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）正确运用对数的运算性质进行化简转化是解决本题的关键．通过代数式恒等列出关于a，b的方程进而确定出函数的解析式；
（2）将方程进行等价转化是解决本小题的关键．利用一元二次方程的知识以及函数的定义域确定出关于实数m的不等式组．

解答：解：（1）、∵f（1）=0，∴

2

a+b

=1①．
∵当x＞0时，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx．
∴lg

2x

ax+b

-lg

2 x

a x +b

=lgx，即lg

2x

ax+b

-lg

2

a+bx

=lgx，所以lg(

2x

ax+b

•

a+bx

2

)=lg

x(a+bx)

ax+b

=lgx，
所以得到

ax+bx2

ax+b

=x，即

a+bx

ax+b

=1，所以a+bx=ax+b，整理得（a-b）（x-1）=0，根据多项式恒等得出a=b，根据①解出a=b=1，从而函数f（x）的解析式为f（x）=lg

2x

x+1

．
（2）方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集?lg

2x

x+1

=lg(m+x)的解集是空集
?

2x x+1 ＞0 m+x＞0 2x x+1 =m+x

的解集为空集，即

x＞0或x＜-1 x＞-m x2+(m-1)x+m=0

的解集为空．
可以对m的取值进行讨论：令g（x）=x²+（m-1）x+m
①当m＞0时，g（0）=m＞0，g（-1）=2＞0，可以判断出上不等式组无解，故合题意；
②当m=0时，由于x²-x=0得出x=0或x=1，可知x=1适合原方程，故m=0不合题意；
③当m＜0时，g（-m）=2m＜0，可以确定原方程在定义域中有解，故不合题意．
综上，使得方程f（x）=lg（m+x）的解集是空集，实数m的取值范围是（0，+∞）．

点评：本小题考查了对数的运算性质，对数的运算等知识点，考查了对数问题的隐含条件----定义域的认识和理解，考查了二次方程根的有无问题，利用数形结合思想可以实现正确转化与求解．