Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且x₁，x_2^∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对n∈N*，有，，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer 1

  解：（1）证明：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
令x₁=x₂=0得f（0）=﹣1，
再令x₁=x，x₂=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1
∴f（﹣x）+1=﹣[f（x）+1]，函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x₁=n，x₂=1得f（n+1）=f（n）+2，
所以f（n）=2n﹣1，，，
∴
又，①②
由①﹣②得出
=
计算整理得出得（3）∵
∴F（n+1）＞F（n）．
又n≥2，
∴F（n）的最小值为