题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求x的值；
（2）若 $数学公式$ ，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令 $数学公式$ ，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ ，
2sin²x- $\text{[math]}$ sin2x=0即cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=0，tan2x= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以x= $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）可知： $\text{[math]}$ =cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），所以函数的最大值为：2，此时2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z；
所以x=kπ $\text{[math]}$ ，k∈Z；
（3）因为 $\text{[math]}$ =2sin（2x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2cos2x，
因为g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函数是偶函数．
分析：（1）通过 $\text{[math]}$ ，得到数量积为0，化简函数表达式，即可求x的值；
（2）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通过 $\text{[math]}$ ，求出函数的表达式，利用奇偶性的定义直接判断函数g（x）的奇偶性，即可．
点评：本题是中档题，通过向量的数量积，考查函数的基本性质，最大值，奇偶性的判断，函数值的求法，考查计算能力，常考题型．