Question

5．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P-ABFED．

（1）求证：BD⊥PA；
（2）当 PA=$\sqrt{30}$时，求三棱锥A-PBD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定证明BD⊥平面POA，证明BD⊥AO，PO⊥BD即可；然后证明BD⊥PA．
（2）求出底面面积与高，利用体积公式，可得结论．

解答 （1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面QBFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．
∵PA?平面POA，
∴BD⊥PA．
（2）解：由题意可得：AO=3$\sqrt{3}$，PO⊥平面ABFED，PA=$\sqrt{30}$，
∴PO=$\sqrt{30-（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
底面ABD的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{（4）}^{2}$=4$\sqrt{3}$．
三棱锥A-PBD的体积：$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\sqrt{3}$=4．

点评 本题考查线面垂直，考查棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定方法，正确求体积是关键．