Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，点P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB的中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线．
（I）求椭圆的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，由此能导出椭圆的方程．设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

x2 16 + y2 12 =1 y=kx+t

，得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由根的判别式能够导出直线AB的斜率．
（II）设直线AB的方程为y=-

1

2

x+t，即x+2y-2t=0，由

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1.

得x²-tx+t²-12=0，由根的判别式和点到直线距离公式能够导出△PAB面积的最大值．

解答：解：（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则

a2-b2 a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1

，得a²=16，b²=12．
所以椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．…（3分）
设直线AB的方程为y=kx+t（依题意可知直线的斜率存在），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

x2 16 + y2 12 =1 y=kx+t

，
得（3+4k²）x²+8ktx+4t²-48=0，由△＞0，得b²＜12+16k²，

x1+x2=- 8kt 3+4k2 x1x2= 4t2-48 3+4k2

，设T（x₀，y₀）x0=-

4kt

3+4k2

，y0=

3t

3+4k2

，易知x₀≠0，
由OT与OP斜率相等可得

y0

x0

=

3

2

，即k=-

1

2

，
所以椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1，直线AB的斜率为-

1

2

．…（6分）
（II）设直线AB的方程为y=-

1

2

x+t，即x+2y-2t=0，
由

y=- 1 2 x+t x2 16 + y2 12 =1.

得x²-tx+t²-12=0，△=t²-4（t²-12）＞0，-4＜t＜4．…（8分）

x1+x2=t x1•x2=t2-12.

.|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 (48-3t2)

=

15

2

16-t2

．
点P到直线AB的距离为d=

|8-2t|

5

．
于是△PAB的面积为S△PAB=

1

2

•

|8-2t|

5

•

15

2

•

16-t2

=

1

2

(4-t)3•(12+3t)

…（10分）
设f（t）=（4-t）³（12+3t），f'（t）=-12（t-4）²（t+2），其中-4＜t＜4．
在区间（-2，4）内，f'（t）＜0，f（t）是减函数；在区间（-4，-2）内，f'（t）＞0，f（t）是增函数．
所以f（t）的最大值为f（-2）=6⁴．于是S_△PAB的最大值为18．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程及直线AB的斜率，求△PAB面积的最大值．解题时要认真审题，注意根的判别式和点到直线距离公式的灵活运用．