Question

【题目】设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点在定直线上．

【解析】

试题分析：（1）由离心率,及圆心与直线相切,可得关于的两个关系式,解得值,可得椭圆的方程；（2）由题可设直线方程与椭圆方程联立,消去利用根与系数的关系和向量的坐标运算,可得值,设出点坐标, 由,可得点横坐标为．

试题解析：

（1）由，∴，∴，又，

解得，所以椭圆的方程为．

（2）直线的斜率必存在，设其直线方程为，

并设，，联立方程，

消去得，则

，，

由，得，故．

设点的坐标为，则由，得，

解得

又，

，从而，

故点在定直线上．