Question

某超市计划销售一种水果，已知水果的进价为每盒10元，并且水果的进货量由销售量决定．预计这种水果以每盒20元的价格销售时该超市可销售2000盒，经过市场调研发现每盒水果的价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒水果的销售价格为x（10＜x≤26，x∈N^*）元．
（Ⅰ）求销售这种水果所获得的利润y（元）与每盒水果的销售价格x的函数关系式；
（Ⅱ）当每盒水果的销售价格x为多少元时，销售这种水果所获得的利润y（元）最大，并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）由于每盒水果的价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售400盒，而每增加一元则减少销售200盒，现设每盒水果的销售价格为x（10＜x≤26，x∈N^*）元．因此当10＜x≤20时，（x∈N^*），y=[2000+400（20-x）]（x-10），当20＜x≤26时，y=[2000-200（x-20）]（x-10）即可得出；
（II）利用（I），通过配方和利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依题意y=

[2000+400(20-x)](x-10)，10＜x≤20 [2000-200(x-20)](x-10)，20＜x≤26

x∈N^*
∴y=

400(25-x)(x-10)，10＜x≤20 200(30-x)(x-10)，20＜x≤26

x∈N^*．
（Ⅱ）y=

-400(x- 35 2 )2+22500，10＜x≤20 -200(x-20)2+20000，20＜x≤26

x∈N^*
当10＜x≤20，则当x=17或18，y_max=22400（元）；
当20＜x≤26，y＜20000，y取不到最大值；
综合上可得当x=17或18时，该特许专营店获得的利润最大为22400元．

点评：正确理解题意和销售利润=销售件数×每一件的利润、二次函数的单调性等是解题的关键．