Question

已知二次函数f（x）满足f（-1）=0，且x≤f（x）≤（x²+1）对一切实数x恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析表达式．

Answer 1

解：（1）∵二次函数f（x）满足f（-1）=0，
且x≤f（x）≤（x²+1）对一切实数x恒成立，
∴取x=1，得1≤f（1）≤（1+1），
所以f（1）=1．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
因f（-1）=0，f（1）=1，
∴，
∴a+c=b=，
∵f（x）≥x对x∈R恒成立，
∴ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，
∴
∴
∵a＞0，ac≥＞0，
∴c＞0．
∵=a+c≥2≥2当且仅当a=c=时，等式成立，
∴f（x）=．
分析：（1）取x=1，由1≤f（1）≤（1+1），能够求出f（1）的值．
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-1）=0，f（1）=1，知，所以a+c=b=，由f（x）≥x，对x∈R恒成立，知ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，由此能求出f（x）的表达式．
点评：本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用．