Question

【题目】设个质数构成公差为的等差数列，且.求证

（1）当是质数时，；

（2）当时，.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）因为 ，，所以，都是大于的质数.因此，每一个都不能被整除.

而被除时只能取个不同的余数，根据抽屉原理，至少有两个数被除的余数相同.设这两个数为、.于是，

能被整除.

但，为质数，所以，.

因此，.

（2）设这15个质数构成公差为的等差数列.由于这15个质数必都是奇数，所以，公差为偶数，即.

由其中的，，这3个质数成等差数列，，根据（1）中的结论，得.

由，，，，这5个质数成等差数列，，根据（1）中的结论，得.

由，和且，可得.

因此，由知.但为质数，所以，.

于是，由这7个质数成等差数列，，根据（1）中的结论，得.

同理，由这11个质数成等差数列， ， 根据（1）中的结论，得.

由这13个质数成等差数列， ，根据（1）中的结论，得.

因为，所以，，

即.

故.