Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC，
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小。

Answer 1

解：依题设知AB=2，CE=1， （Ⅰ）连结AC交BD于点F，则BD⊥AC， 由三垂线定理知，， 在平面内，连结EF交A1C于点G， 由于， 故， 互余， 于是， A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直， 所以A1C⊥平面BED。 （Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连结A1H， 由三垂线定理知， 故是二面角A1-DE-B的平面角， ， ， ， 又， ， ， 所以二面角A1-DE-B的大小为。