Question

【题目】已知，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且在时有极大值点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）对求导，分，，，进行讨论，可得函数的单调性；

（2）将代入，对求导，可得，再对求导，可得函数有唯一极大值点，且.

可得,设，对其求导后可得.

解：（1），

又，，时，，所以可解得：函数在单调递增，在单调递减；

经计算可得，时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；

时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；

时，函数在单调递减.

综上：时，函数在单调递增，单调递减；

时，函数在单调递减，单调递增，单调递减；

时，函数在单调递减；

时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.

（2）若，则，

，

设，则，

当时，单调递减，即单调递减，

当时，单调递增，即单调递增.

又因为由可知：，

而，且，

，使得，且时，单调递增，

时，单调递减，时，单调递增，

所以函数有唯一极大值点，

且.

.

所以,

设（），则，

在单调递增，，，又因为，

.