Question

已知函数f(x)=ax³-bx²+9x+2，若f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-6=0，
(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间；
(Ⅱ)若对任意的x∈[，2]都有f(x)≥t²-2t-1成立，求函数g(t)=t²+t-2的最值。

Answer 1

解：由已知，得切点为(1，3)，且f′(x)=3ax²-2bx+9，
(Ⅰ)由题意可得，解得，
故，，
由f′(x)=0，得，
由f′(x)＞0，得；由f′(x)＜0，得；
f(x)的单调增区间为，f(x)的单调减区间为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)的极小值为，
又，f(2)=4，
∴f(x)在上的最小值为2，
由f(x)≥t²-2t-1对x∈恒成立，则t²-2t-1≤2，
则t²-2t-3≤0，解得-1≤t≤3，
而g(t)=t²+t-2=，
故当时，g(t)最小值为；当t=3时，g(t)最大值为10。