Question

已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

M

a+b+c

恒成立，则实数M的最大值是（　　）

A．6+2 3

B．5+ 3 2

C．6+2 2

D．9

Answer 1

设

a

c

=sinα，则

b

c

=cosα
则(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=3+

1+(sinα+cosα)(1+sinαcosα)

sinαcosα

设t=sinα+cosα，则1＜t≤

2

，sinαcosα=

t2-1

2

代入得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

而f（x）=x+

2

x

，在0＜x≤

2

时单调递减，
所以(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

≥5+3

2

所以M最大值为5+3

2

故选B