Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）写出f（x）的解析式及x₀的值；
（2）若锐角θ满足cosθ=

1

3

，求f（2θ）的值．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象可求得A，ω，及φ的值，从而可求得f（x）的解析式及x₀的值；
（2）依题意可求得sinθ的值，而f（2θ）=2sin（θ+

π

6

），利用两角和的正弦即可求得答案．

解答：解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象可知A=2，

T

2

=2π，
∴

2π

ω

=4π，
∴ω=

1

2

；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，而|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）；
又

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

，
∴x₀=

2π

3

．
（2）∵cosθ=

1

3

，θ为锐角，
∴sinθ=

2 2

3

，
∴f（2θ）=2sin（

1

2

×2θ+

π

6

）
=2sin（θ+

π

6

）
=2（sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

）
=2（

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

）
=

2 6 +1

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．