题目内容

已知椭圆经过点(0，)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

答案：(
解析：

　　解：(Ⅰ)易知因为

　　∴椭圆C的方程　　4分

　　(2)易知直线l的斜率存在，设直线l方程且l与y轴交于设直线l交椭圆于

　　由得

　　　　6分

　　又由，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)

　　，同理　　8分

　　

　　所以当直线l的倾斜角变化时，的值为定值－　　10分

　　(3)当直线l斜率不存在时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK的中点N(，0)　　11分

　　猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点N(，0)

　　证明：由(2)知

　　当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点N(，0)，

　　∶

　　当时，

　　＝

　　＝点N(，0)，在直线lAE上　　12分

　　同理可证，点N(，0)也在直线lBD上　　13分

　　∴当m变化时，AE与BD相交于定点(，0)　　14分

　　其他正确做法相应给分．


练习册系列答案
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已知椭圆经过点(0，1)，离心率

(1)求椭圆C的方程

(2)设直线x＝my＋1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为．试问：当m变化时，直线与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

（本小题满分12分）

已知椭圆经过点，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过定点M（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

 

(本题满分14分)

已知椭圆经过点(0，)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

(3)连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

21、已知椭圆经过点(0，)，离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为点D、K、E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

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