Question

已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-2a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=kx+4．
（1）若k=1，求直线l被圆C所截得的弦长的最大值；
（2）若直线l与圆C相切，切点为T，点P（0，4），求线段PT的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径，再求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系，最后由二次函数法求解．
（2）根据切线长公式求出线段PT的关系式，然后利用二次函数法求解．

解答：解：（1）（x+a）²+（y-a）²=2a（0＜a≤4）．…．（1分）
圆心C（-a，a），半径r=

2a

，l：y=x+4，…．（3分）
圆心C到直线l的距离d=

|-2a+4|

2

，…．（5分）
∴l被圆C截得的弦长=2

r2-d2

=2

2a-2(a-2)2

=2

2

-a2+5a-4

…．（7分）
=2

2

-(a- 5 2 )2+ 9 4

，∴当a=

5

2

时l被圆C截得弦长的最大值为3

2．

…．（10分）
（2）∵点P在直线l上，∴PT为的圆C切线长…．（11分）PT=

PC2-r2

=

a2+(a-4)2-2a

=

2(a2-5a+8)

…．（13分）
=

2(a- 5 2 )2+ 7 2

∵0＜a≤4，∴

14

2

≤PT＜4．…．…（16分）

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相切构建了函数模型，求参数的范围，本题利用二次函数法求函数的最值和范围，是常用的方法．