Question

已知函数f(x)=sin(x+

7π

4

)+cos(x-

3π

4

)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos(β-α)=

4

5

，cos(β+α)=-

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求f（β）的值．

Answer 1

分析：（1）由辅助角公式对已知函数化简可得，f(x)=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)，结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值
（2）由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cosαcosβ=0，结合已知角α，β的范围可求β，代入可求f（β）的值．

解答：解：（1）∵f(x)=sin(x+

7π

4

)+cos(x-

3π

4

)
=sinxcos

7π

4

+sin

7π

4

cosx+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
∴f(x)=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)，
∴T=2π，f（x）_max=2
（2）∵cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，cos(β+α)=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

∴cosαcosβ=0
∵0＜α＜β≤

π

2

⇒cosβ=0⇒β=

π

2

，
∴f(β)=

2

点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用，正弦函数的性质的应用，两角和与差的余弦公式的应用．