Question

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝．

(Ⅰ) 证明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小为60°，求AP的值．

 

Answer 1

 (Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得

CE＝＝1， DE＝＝3，

所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BCA＝45°，

所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD．

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．       …………4 分

方法一：

  (Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°……8分．

在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝．

在Rt△PAC中，＝．设PA＝x，可得＝．

解得x＝，即AP＝．     ………… 12分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：

A(0，－，1)，    B(，0， 0)，

C(0，，0)，    D(－，0， 0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t) (t＞0)．设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，

由＝(－，－，0)，＝(－，，－t) 知

取y＝1，得m＝(－2，1， )．………….8分

又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，

于是|cos< m，n>|＝＝＝．解得t＝，即

AP＝．  ………… 12分