Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁，AB=2，点E是棱AB上的动点．

(1)证明D₁E⊥A₁D；

(2)若E为AB的中点，求异面直线AD₁与EC所成的角；

(3)若二面角D₁-EC-D为45°时，求EB的长．

Answer 1

解：(1)证明：∵EA⊥平面AD₁，而AD=AA₁

∴A₁D⊥AD₁    ∴D₁E⊥A₁D

(2)设DC中点为F，易知AF∥EC，连结D₁F

∴∠D₁AF为异面直线AD₁与CE所成的角

∵AB=2，AD=AA₁=1，E、F为中点

∴AD₁=AF=D₁F=

∴∠D₁AF=60°  ∴AD₁与CE所成的角为60° 

(3)过D作DG⊥CE于C，连结D₁G，∵D₁D⊥平面DB

∴EC⊥D₁C

∴∠D₁GD为二面角D_l—EC—D的平面角，即∠D₁GD=45°

故DG=D₁D=1，易知△BCE∽△GDC

∴  ∴EC=2  ∴BE=

向量法：

(1)以D为原点，DA为x轴建立空间坐标系，则D(0，0，0)，D₁ (0，0，1)，E(1，x，0)，A₁ (1，0，1)

∴=(1，x，-1) =(-1，0，-1)

∴·=l×(-1)+x×0+(-1)×(-1)=0

∴D₁E⊥A₁D

(2)∵E(1，1，0)  C(0，2，0)  A(1，0，0)  D(0，0，1)

∴ =(-1，0，1) =(-1，1，0)

∴cos（，）=

∴AD₁与EC所成的角为60°

(3)设E(1，2-x，0)  C(0，2，0)  D：(0，0，1)

∴=(-1，x，0)   =(0，2，-1)

设平面D₁EC的一个法向量n=(a，b，c)

由n·=0，得-a+bx=0

由n·=0，得2b-c=0

∴可取n=(x，1，2)，=(0，0，1)

∴cos(n)=