Question

已知f（x）为偶函数，且f（1+x）=f（3-x），当-2≤x≤0时，f（x）=3^x，若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₁₁=（　　）

• A、-

  1

  3

• B、3
• C、-3
• D、

  1

  3

Answer 1

分析：先利用f（x）为偶函数以及f（1+x）=f（3-x），求出函数的周期为4；把a₂₀₁₁转化为a₅₀₂₊₃=a₃=f（3）=f（-1）；再借助于当-2≤x≤0时，f（x）=3^x，即可求出结论．

解答：解：∵f（1+x）=f（3-x）
∴f（x）=f（4-x）
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x）
∴f（-x）=f（4-x）．即函数的周期T=4．
∴a₂₀₁₁=a₅₀₂₊₃=a₃=f（3）=f（-1）=3^-1=

1

3

故选：D．

点评：本题主要是对数列知识和函数知识的综合考查．解决本题的关键是利用f（x）为偶函数以及f（1+x）=f（3-x），求出函数的周期为4．