Question

在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，若c=2

3

，C=

π

3

，sin2B=sinAcosB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：先利用二倍角公式对sin2B=sinAcosB化简整理，看cosB=0时，求得B，进而再Rt△ABC中求得b和a，则三角形面积可得；再看cosB≠0时，由正弦定理求得a和b的关系，根据余弦定理求得a和b的另一个关系式联立求得a和b，最后利用三角形面积公式求得答案．

解答：解：在△ABC中，由余弦定理c²-a²+b²=abcosC得
a²+b²-ab=12①，
又sin2B=sinAcosB，∴2sinBcosB=sinAcosB，
（1）当cosB=0时，∠B=

π

2

，b=

2 3

sin π 3

=π ，  a=

42-(2 3 )2

=2
∴△ABC的面积S=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

（2）当cosB≠0时，2sinB=sinA由正弦定理得：a=2b②
①、②两式联立

a2+b2-ab=12 a=2b

，解得a=4，b=2
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

综合（1）、（2）得△ABC的面积为2

3

点评：本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．