Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，且an-an-1=

1

2n

．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）由已知递推公式可利用叠加法求解数列的通项公式．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，且an-an-1=

1

2n

，
∴a2=

3

4

，a3=

7

8

，a4=

15

16

；
（2）∵an-an-1=

1

2n

，
∴a₂-a₁=

1

22

，
a₃-a₂=

1

23

，
…
an-an-1=

1

2n

，
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，
∵a1=

1

2

，
∴a_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法，考查学生的计算能力，属于中档题．