Question

（2013•房山区一模）某商品在最近100天内的单价f（t）与时间t的函数关系是f(t)=

t 4 +22(0≤t＜40，t∈N) - t 2 +52(40≤t≤100，t∈N)

日销售量g（t）与时间t的函数关系是g(t)=-

t

3

+

109

3

(0≤t≤100，t∈N)．则这种商品的日销售额的最大值为

808.5

．

Answer 1

分析：由已知中销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数f（t），及销售量g（t）与时间t（t∈N）的函数g（t），结合销售额为S（t）=f（t）g（t），我们可以求出销售额为S（t）的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函数的最大值，即可得到商品日销售额S（t）的最大值．

解答：解：由已知销售价f(t)=

t 4 +22(0≤t＜40，t∈N) - t 2 +52(40≤t≤100，t∈N)

，
销售量g(t)=-

t

3

+

109

3

(0≤t≤100，t∈N)，
∴日销售额为S（t）=f（t）g（t），
即当0≤t＜40时，S（t）=（

1

4

t+22）（-

1

3

t+

109

3

）=-

1

12

t²+

7

4

t+

2398

3

，
此函数的对称轴为x=

21

2

，又t∈N，最大值为S（10）=S（11）=

1617

2

；
当40≤t≤100时，S（t）=（-

1

2

t+52）（-

1

3

t+

109

3

）=

1

6

t²-

213

6

t+

265

3

，
此时函数的对称轴为x=

213

2

＞100，最大值为S（100）=6．
综上，这种商品日销售额S（t）的最大值为

1617

2

=808.5，此时t=10或t=11．
故答案为：808.5．

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，其中根据日销售额为S（t）=f（t）g（t），得到销售额为S（t）的函数解析式，是解答本题的关键．