题目内容

函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

解：（1）∵f′（x）=3ax²+b的最小值为-12
∴b=-12，且a＞0
又直线6x+y+7=0的斜率为-6
∵函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x， $\text{[math]}$ ，列表如下：

x	（-∞， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f′	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以，函数f（x）的单调增区间是（-∞， $\text{[math]}$ ）和 $\text{[math]}$
∴f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极大值为 $\text{[math]}$ ，f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极小值为 $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，方程有一根；
当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，方程有两个根；
当 $\text{[math]}$ 时，方程有三个根
分析：（1）利用f′（x）=3ax²+b的最小值为-12，可知b=-12，且a＞0，根据直线6x+y+7=0的斜率为-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x， $\text{[math]}$ ，从而可求函数f（x）的单调增区间是（-∞， $\text{[math]}$ ）和 $\text{[math]}$ ，进而可知f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极大值为 $\text{[math]}$ ，f（x）在 $\text{[math]}$ 时取得极小值为 $\text{[math]}$ ，由此可确定方程解的情况．
点评：本题以导函数为载体，考查导数知识的应用，考查方程解的讨论，解题的关键是确定函数的极值，从而确定方程解的情况．