Question

【题目】（本题满分16分）已知函数， ．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；

（3）当时，若与的图象有两个交点，求证： ．（取为，取为，取为）

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）详见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得对， 恒成立，即，∵，∴（2）设切点，由导数几何意义得， ，令，则，问题就转化为利用导数求最值：由得当时 ， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增，∴，故的最小值为．（3）本题较难，难点在于构造函数.先根据等量关系消去参数a：由题意知， ，两式相加得，两式相减得，即，

∴，即，为研究等式右边范围构造函数，易得在上单调递增，因此当时，有即，所以，再利用基本不等式进行放缩： ，

即，再一次构造函数，易得其在上单调递增，而，因此，即．

试题解析：解：（1） ,则，

∵在上单调递增，∴对，都有，

即对，都有，∵，∴，

故实数的取值范围是． 4分

（2）设切点，则切线方程为，

即，亦即，

令，由题意得， 7分

令，则，

当时 ， ， 在上单调递减；

当时， ， 在上单调递增，

∴，故的最小值为． 10分

（3）由题意知， ，

两式相加得，两式相减得，

即，∴，

即， 12分

不妨令，记，令，则，

∴在上单调递增，则，

∴，则，∴，

又，

∴，即，

令，则时， ，∴在上单调递增，

又，

∴，则，即．

16分