题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ +cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立．
（1）求a，c，d的值；
（2）若 $数学公式$ ，解不等式f'（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵f（0）=0，∴d=0
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ 恒成立
显然a=0时，上式不能恒成立∴ $\text{[math]}$ 是二次函数
由于对一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函数的性质可得 $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．
假设存在实数m使函数 $\text{[math]}$ 区间[m．m+2]上有最小值-5．
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，n+2]上是递增的．
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 舍去
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+2，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，
而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=-5．
即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，均应舍去
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上递减的∴g（m+2）=-5
即 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ 应舍去．
综上可得，当 $\text{[math]}$ 时，
函数g（x）=f'（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．
分析：（1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三个方程，解出a、b、c
（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想
（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系．
点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题．