Question

8．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{e}^{x}-1（x≥0）}\\{x-{e}^{-x}+1（x＜0）}\end{array}\right.$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为[a，b+3]，若存在，求出所有的a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；
（2）根据条件判断函数的单调性，利用函数的单调性建立方程组关系即可得到结论．

解答 解：（1）若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x-e^x+1=-（x+e^x-1）=-f（x），
若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x+e^-x-1=-（x-e^x+1）=-f（x），
f（0）=0，
综上f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数．
（2）当x≥0时，f（x）=x+e^x-1为增函数，
∵f（x）是奇函数，
∴在（-∞，+∞）上f（x）为增函数，
若存在不同的实数a，b，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为[a，b+3]，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b+3}\end{array}\right.$，
①若a≥0，则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a+{e}^{a}-1=a}\\{b+{e}^{b}-1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{a}=1}\\{{e}^{b}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=ln4}\end{array}\right.$，满足条件．
②若b＜0，则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a-{e}^{-a}+1=a}\\{f（b）=b-{e}^{-b}+1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-a}=1}\\{{e}^{-b}=-2}\end{array}\right.$此时方程组无解，
③若a＜0，b≥0，则$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a-{e}^{-a}+1=a}\\{f（b）=b+{e}^{b}-1=b+3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-a}=1}\\{{e}^{b}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=ln2}\end{array}\right.$此时a=0不成立，
综上存在a=0，b=ln4，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域为[a，b+3]．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性和奇偶性的应用，注意利用分类讨论的数学思想．