Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c且f（-1）=0，f（1）=1．是否存在常数a，b，c使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)对一切实数x都成立？若存在，求出实数a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵f（-1）=0且f（1）=1
∴a-b+c=0且a+b+c=1．联解可得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
函数表达式化简为：f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
设存在常数a，b，c使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)对一切实数x都成立
可得x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

1

2

(x2+1)对一切x∈R成立，
化简得

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立，即

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0且1-2a＞0

解之得a=

1

4

，可得c=

1

2

-a=

1

4

．

∴存在常数a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，使得不等式x≤f(x)≤

1

2

(x2+1)对一切实数x都成立．