Question

（12分）如图，在梯形ABCD中，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上.

（Ⅰ）求证：平面ACFE；

（Ⅱ）当EM为何值时，平面BDF？证明你的结论；

（Ⅲ）求二面角B―EF―D的大小.

Answer 1

解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

且

∴，∴

又∵平面平面ABCD，交线为AC，∴平面ACFE.

 

（Ⅱ）当时，平面BDF. 在梯形ABCD中，设，连结FN，则 

∵而，∴∴MFAN，

∴四边形ANFM是平行四边形. ∴ 

又∵平面BDF，平面BDF. ∴平面BDF.

（Ⅲ）取EF中点G，EB中点H，连结DG、GH、DH，∵DE=DF，∴ ∵平面ACFE，∴  又∵，∴又∵，∴

∴是二面角B―EF―D的平面角.

在△BDE中∴∴，

∴又∴在△DGH中，

由余弦定理得即二面角B―EF―D的大小为