Question

已知：f（x）=2cos²x+sin2x+a．（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）单调递增区间；
（2）若f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
（3）在（2）条件下的f（x）与g（x）关于x=

π

4

对称，写出g（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+a+1，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得f（x）的单调递增区间．
（2）根据x的范围求出2x+

π

6

的范围，进而得到sin（2x+

π

6

）的范围，从而得到f（x）的最大值和最小值，由最大值与最小值之和为3，求得a的值．
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）与g（x）关于x=

π

4

对称，可得 g（x）=f（

π

2

-x），利用诱导公式求得g（x）的解析式．

解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1．（2分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．（4分）
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]）．（7分）
∴f（x）的最大值为3+a，最小值为a，∴3+a+a=3，∴a=0．（9分）
（3）由（2）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）与g（x）关于x=

π

4

对称，
故g（x）=f（

π

2

-x）=sin[2（

π

2

-x）+

π

6

]=sin（π+

π

6

-2x）=-sin（

π

6

-2x）=sin（2x-

π

6

），
即 g（x）=sin（2x-

π

6

）． （12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．