Question

求函数f(x)=

3

4

(x-1)2-2x+3+lnx在区间[1，3]上的极值．

Answer 1

分析：先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．

解答：解：∵函数f(x)=

3

4

(x-1)2-2x+3+lnx．（x∈[1，3]）
∴f/(x)=

3x2-7x+2

2x

=

(x-2)(3x-1)

2x

=0，解得x=2或

1

3

（舍），
∴当1＜x＜2时，f′（x）＜0，故此时f（x）为减函数；
当2＜x＜3时，f′（x）＞0，故此时f（x）为增函数．
则x=2是函数的极小值点．
由于f（2）=ln2-

1

4

，
故f（x）的极小值为ln2-

1

4

，无极大值．

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．