题目内容

已知向量
a
=(2
3
sinx，cos2x)，
b
=(cosx，2)，函数f(x)=
a
•
b

（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数f（x）向左平移
π
12
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，
π
4
]上的值域．
（1）∵f(x)=
a
•
b
=2
3
sinxcosx+2cos2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1，
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，（k∈Z）
∴函数f（x）减区间为[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z．
（2）∵将函数f（x）向左平移
π
12
得到y=2sin[2(x+
π
12
)+
π
6
]+1=2sin(2x+
π
3
)+1，
再将其横坐标缩短为原来的
1
2
，得到g（x）=2sin(4x+
π
3
)+1，
∵0≤x≤
π
4
，∴
π
3
≤4x+
π
3
≤
5π
4
，
∴-
2
2
≤sin(4x+
π
3
)≤1．
即-
2
+1≤g（x）≤3．
∴g（x）在[0，
π
4
]上的值域为[-
2
+1，3]．
练习册系列答案
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（2013•东至县一模）已知函数f(x)=2
3
sin(
x
2
+
π
4
)cos(
x
2
+
π
4
)-sin(x+π)．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象按向量
a
=（
π
6
，0）平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．
已知函数f(x)=2
3
sin(
x
2
+
π
4
)cos(
x
2
+
π
4
)-sin(x+π)
（I ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象按向量
a
=(
π
6
，0)平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调区间及值域．
已知函数f(x)=2
3
sin(
x
2
+
π
4
)cos(
x
2
+
π
4
)-sin(x+π)
（I ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若将f（x）的图象按向量
a
=(
π
6
，0)平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调区间及值域．

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