Question

数列{a_n}的前n项和S_n=n（2n-1）a_n，并且a1=

1

3

，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）判断前n项和S_n组成的新数列{S_n}的单调性，并给出相应的证明．

Answer 1

分析：（1）先根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1以及S_n=n（2n-1）a_n，求出数列的递推公式，再利用累乘法求通项公式．
（2）先根据（1）中所求数列{a_n}的通项公式，再根据S_n=n（2n-1）a_n，求出S_n根据数列{S_n}中相邻两项与0之间的大小关系，判断数列{S_n}的单调性，

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）a_n-（n-1）（2n-3）a_n-1，得

an

an-1

=

2n-3

2n+1

∴

a2

a1

a3

a2

a4

a3

a5

a4

…

an-1

an-2

an

an-1

=

1

5

×

3

7

×

5

9

×

7

11

…

2n-5

2n-1

×

2n-3

2n+1

又a1=

1

3

得an=

1

(2n-1)(2n+1)

（2）因为S_n=n（2n-1）a_n=

n

2n+1

，Sn+1-Sn=

n+1

2n+3

-

n

2n+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

＞0对于任意的正整数都成立，所以S_n+1＞S_n，即前n项和S_n组成的新数列{S_n}为递增数列．

点评：本题考查了数列中a_n与S_n之间的关系，以及数列单调性的证明．