Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求几何体C₁DABA₁的体积。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又∵AD₁⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∴AC⊥平面A₁BD，平面A₁BD，
∴。 
（Ⅱ）解：，
∵AD₁⊥平面ABCD，
∴AD₁为几何体A₁-ABD的高，
∴， 
∵四棱柱，
∴CC₁∥AA₁，，
∴四边形是平行四边形，
∴，由（1）得AC⊥平面A₁BD，
∴平面A₁BD，
∴A₁C₁为几何体的高，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∴，
∴。