Question

如图，将正方体的六个面的中心连接起来，构成一个八面体，设这个八面体的体积是V₁，正方体体积是V₂，则V₁：V₂=

 

．

Answer 1

分析：构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半

1

2

，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是

2

2

，做出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值．

解答：解：设正方体的棱长是1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的一半

1

2

，
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是

2

2

，
∴这个正四棱锥的体积是

1

3

×

2

2

× 

2

2

× 

1

2

=

1

12

∴构成的八面体的体积是2×

1

12

=

1

6

∴八面体的体积是V₁，正方体体积是V₂，V₁：V₂=1：6
故答案为：1：6

点评：本题考查组合几何体的体积，面积，考查棱锥，正方体的体积，是一个计算题，这种题目可以作为选择和填空出现，这是一个结构非常规则的几何体，难度较小．