Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x）=-f（x+2），且x∈（-1，0）时，f(x)=2x+

1

5

，则f（log₂20）=

 

．

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）为奇函数，由f（x）=-f（x+2）可得f（x+4）=f（x），可知f（x）是以4为周期的周期函数，利用周期性将f（log₂20）转化为f（log₂

5

4

），再利用奇函数，将f（log₂

5

4

）转化为-f（log₂

4

5

），根据当x∈（-1，0），f(x)=2x+

1

5

，即可求得f（log₂20）的值．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∵f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函数，周期为4，
∵log₂16＜log₂20＜log₂32，
∴4＜log₂20＜5，
∴0＜log₂20-4＜1，即0＜log₂

5

4

＜1，即-1＜log₂

4

5

＜0，
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂

5

4

）=-f（-log₂

5

4

）=-f（log₂

4

5

），
∵x∈（-1，0）时，f(x)=2x+

1

5

，
∴f（log₂

4

5

）=2log2

4

5

+

1

5

=

4

5

+

1

5

=1，
∴f（log₂20）=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考点是函数的值，考查利用函数的性质通过转化来求函数的值，是函数性质综合运用的一道好题．对于本题中恒等式的意义要好好挖掘，做题时要尽可能的从这样的等式中挖掘出信息．解题的关键是利用周期把所求的函数值转化到已知区间上．属于中档题．