题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
3

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点（0，2）直线l与C交于A，B，若∠AOB为锐角，求直线l的斜率的取值范围．
分析：（1）根据椭圆的标准方程，结合离心率确定a，c的关系，根据短轴的一个端点到右焦点的距离确定a，进而根据a，b和c的关系确定b，椭圆方程可得．
（2）设直线方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积的坐标表示即可求得斜率的取值范围，从而解决问题．
解答：解：（1）由e2=
2
3
得a2=3b2，又由题意知a=
3
，所以b=1，所以
x2
3
+y2=1…（4分）
（2）设直线方程为y=kx+2，所以
y=kx+2
x2+3y2=3
⇒(3k 2+1)x2+12kx+9=0，…（2分）
由题意知△=144k2-36（3k2+1）＞0，解得k2＞1…（1分）
又
x1+x2=
-12k
3k2+1
x1x2=
9
3k2+1
，由∠AOB为锐角可得，
OA
•
OB
＞0即x1x2+y1y2＞0…（2分）
所以（k2+1）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，代解得k2＜
13
3
…（2分）
综上可得1＜k2＜
13
3
…（1分）
点评：本题主要考查了椭圆的应用．解答的关键是利用待定系数法求椭圆方程及平面向量的基本计算．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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