Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和为T_n．
（3）是否存在等差数列{c_n}，使得a₁c_n+a₂c_n-1+a₃c_n-2+…+a_nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N^*都成立？若存在，求出c_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，可求得a_n，注意检验n=1时的情形；
（2）由（1）可得b_n+1-b_n=2^n-1，利用累加法可求得b_n，再用分组求和可得T_n．
（3）先假设存在等差数列{c_n}，然后令n=1，n=2探求等差数列{c_n}的通项，最后代入验证即可；

解答：解：（1）当n=1时，a₁=2-1，∴a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1，
又n=1时成立，∴a_n=2^n-1．'
（2）∵b_n+1=a_n+b_n，∴b_n+1-b_n=2^n-1．
从而n≥2时，b_n-b_n-1=2^n-2，
b_n-1-b_n-2=2^n-3，
…
b₂-b₁=1，
以上等式相加，得b_n-b₁=1+2+2²+…+2^n-2=2^n-1-1，
又b₁=2，∴b_n=2^n-1+1，且b₁=2适合该式，
∴b_n=2^n-1+1，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（1+1+…+1）=2ⁿ-1+n．
（3）设存在等差数列{c_n}使得a₁c_n+a₂c_n-1+a₃c_n-2+…+a_nc₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N^*都成立，
则n=1时有a₁c₁=2²-1-2=1，∴c₁=1；
则n=2时有a₁c₂+a₂c₁=2³-2-2=4，∴c₁=2，
∴等差数列{c_n}的公差d=1，∴c_n=n，
设S=a₁c_n+a₂c_n-1+a₃c_n-2+…+a_nc₁，
∴

S=1•n+2(n-1)+22(n-2)+…+2n-2•2+2n-1•1 2S=2•n+22(n-1)+…+2n-1•2+2n•1

∴2S-S=S=-n+2+22+…+2n-1+2n=-n+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴存在等差数列{c_n}且c_n=n满足题意．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要掌握．