Question

对于函数f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）与函数g(x)=

1

2

x2+lnx有下列命题：
①函数f（x）的图象关于x=

π

2

对称；②函数g（x）有且只有一个零点；
③函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；
④若函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为

1

2-π

．其中正确的命题是

②③④

．（将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：对于①，根据函数f（x）在对称轴处取得最值作出判断即可；
对于②，函数g(x)=

1

2

x2+lnx的导函数g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函数g（x）在定义域内为增函数，利用零点存在定理，可得函数g（x）在（e^-1，1）上有且只有一个零点；
因为f'（x）=2sinx≤2，又因为g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线；
同时要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f'（x）=g'（x）=2，这时可求得kPQ=

1

2-π

．
故可得结论

解答：解：对于①，根据函数f（x）在对称轴处取得最值，可知①错；
对于②，函数g(x)=

1

2

x2+lnx的导函数g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函数g（x）在定义域内为增函数，
∵g(e-1)=

1

2e2

-1＜0，g(1)=

1

2

＞0，
∴函数g（x）在（e^-1，1）上有且只有一个零点，②正确；
因为f′（x）=2sinx≤2，又因为g′(x)=x+

1

x

≥2，所以函数f（x）和函数g（x）图象上存在平行的切线，③正确；
同时要使函数f（x）在点P处的切线平行于函数g（x）在点Q处的切线只有f'（x）=g'（x）=2，这时P(

π

2

，0)，Q(1，

1

2

)，所以kPQ=

1

2-π

，④也正确．
所以正确的命题是②③④
故答案为：②③④

点评：本题以命题为载体，考查命题的真假，考查导数知识的运用，考查零点存在定理，知识综合性强．