题目内容
已知函数f(x)=x+
，
（1）判断f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定义证明你的结论；
（2）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[
，+∞)内是增函数．
| 3 |
| x |
（1）判断f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定义证明你的结论；
（2）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[
| 3 |
分析：（1）利用函数的奇偶性的定义进行判断．
（2）利用函数的单调性的定义进行证明．
（2）利用函数的单调性的定义进行证明．
解答：解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：
函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又f(-x)=-x+
=-(x+
)=-f(x)，
∴f（x）是定义域内的奇函数．
（2）设任意x1，x2∈[
，+∞)，且x1＜x2，
则f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+
)=(x1-x2)+(
-
)=
，
∵
≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2-3＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[
，+∞)内是增函数．
函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又f(-x)=-x+
| 3 |
| -x |
| 3 |
| x |
∴f（x）是定义域内的奇函数．
（2）设任意x1，x2∈[
| 3 |
则f(x1)-f(x2)=x1+
| 3 |
| x1 |
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| x1 |
| 3 |
| x2 |
| (x1-x2)(x1x2-3) |
| x1x2 |
∵
| 3 |
∴x1-x2＜0，x1x2-3＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[
| 3 |
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．
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