Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当0＜a≤

1

2

时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2bx+4，当a=

1

4

时，若对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定切线的斜率，从而可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）分类讨论．利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（3）确定f（x₁）≥f（1）=-

1

2

，对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，只需当x∈[1，2]时，[g（x）]_max≤-

1

2

即可，由此可得不等式，从而可求实数b的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x-1，∴f′（x）=

1

x

-1
∴f′（1）=0
∵f（1）=-2
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-2；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
求导函数，f′（x）=-

[ax-(1-a)](x-1)

x2

令f′（x）=0得x1=

1-a

a

，x2=1
当a=

1

2

时，f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当0＜a＜

1

2

时，

1-a

a

＞1，
∴在（0，1）和（

1-a

a

，+∞）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
在（1，

1-a

a

）上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
（3）当a=

1

4

时，

1-a

a

=3，f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1
由（2）知，函数在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f（x₁）≥f（1）=-

1

2

对任意x₁∈（0，2），当x₂∈[1，2]时，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
只需当x∈[1，2]时，[g（x）]_max≤-

1

2

即可
所以

g(1)≤- 1 2 g(2)≤- 1 2

，所以

5-2b≤- 1 2 8-4b≤- 1 2

所以b≥

11

4

所以实数b的取值范围是[

11

4

，+∞）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，属于中档题．