Question

【题目】如图，已知平面平面，为线段的中点， ，四边形为边长为1的正方形，平面平面，，，为棱的中点.

(1)若为线上的点，且直线平面，试确定点的位置；

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)连接，由直线平面，，又为的中点， 从而得为的中位线， 为的中点；（2）先证明平面，

可得两两相垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

(1)连接，直线平面，平面，

平面平面，

又为的中点， 为的中位线， 为的中点.

(2) 则，

又为的中点，.

又平面平面，平面平面

四边形为平行四边形.

又，四边形为菱形.

又，，

，

，平面平面

平面，

两两相垂直

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，

轴建立空间直角坐标系依题意，得，

，.

设平面的一个法向量

则由且得:

且

令，得

.

又平面的一个法向量

所求锐二面角的余弦值约：

.