Question

如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应该如何设计才能使草坪面积最大？

Answer 1

分析：建立坐标系，确定线段EF的方程，表达出矩形PQCR的面积，再利用配方法求出面积的最大值，从而问题得解．

解答：解：建立如图示的坐标系，则E（30，0）F（0，20），那么线段EF的方程就是

x

30

+

y

20

=1(0≤x≤30)

在线段EF上取点P（m，n），作PQ⊥BC于Q，作PR⊥CD于R，
设矩形PQCR的面积是S，则S=|PQ||•|PR|=（100-m）（80-n），
又因为

m

30

+

n

20

=1(0≤m≤30)，所以n=20（1-

m

30

），
故S=（100-m）（80-20+

2

3

m）=-

2

3

(m-5)2+

18050

3

∵0≤m≤30，∴当m=5时S有最大值，这时

|EP|

|PF|

=

30-5

5

=

5

1

故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5：1时，广场的面积最大．．

点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，考查利用数学知识解决实际问题，正确表达出矩形PQCR的面积是解题的关键．